opgaver:Uge1
Disse statistik-øvelser er redigerede udgaver af opgaverne 3.4, 3.25, 4.6, 4.28, 5.11 og 5.31 fra R. J. Taylor's An Introduction to Error Analysis.
Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.
Contents |
Opgave 1 - Tælletal
Når en prøve med radioaktive atomer henfalder, vil antallet af radioaktive atomer falde, og prøvens radioaktivitet vil falde proportionalt med dette. For at undersøge denne effekt måler en fysiker på partiklerne der udsendes fra en radioaktiv prøve i løbet af to timer. Hun tæller antallet af partikler der udsendes i løbet af en 1 minut lang periode med halve timers intervaller, med følgende resultater:
| Tid gået, t (timer): | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
| Antal tællinger, ν, på 1 minut: | 214 | 134 | 101 | 61 | 54 |
Spørgsmål a
Brug MATLAB til at plotte antallet af tællinger imod den tid der er gået. Inkludér errorbars for at vise usikkerheden på tallene. (Negligér usikkerheder i den tid der er gået).
Spørgsmål b
En teori forudsiger at antallet af udsendte partikler burde falde eksponentielt ved ν = ν0 exp(-rt), hvor der (i dette tilfælde) gælder at ν0 = 200 og r = 0.693 hr-1. Plot denne forventede kurve på din graf oven på din tidligere graf, og kommentér på hvor godt dataen ser ud til at passe med den teoretiske forudsigelse.
Opgave 2 - Usikkerheden af et potensudtryk
Fra Taylor's regel (3.10) om usikkerheder af potensudtryk, ved vi at et q = x2 har en relativ usikkerhed der er dobbelt så stor som den relative usikkerhed i x;
Overvej nu det følgende (forkerte) argument: Vi kan tænke på x2 som x gange x, så
derfor vil der ifølge Taylor's regel (3.18) gælde at
Denne konklusion er forkert. Forklar hvorfor.
Bonus: Prøv at undersøge dette i MATLAB ved at sammenligne den relative usikkerhed (SD divideret med gennemsnitsværdien) for en række af tilfældige tal med den relative usikkerhed på samme række af tal kvadreret. Du kan evt. læse i MATLAB-hjælpen hvad funktionen randn gør.
Opgave 3 - Flere tælletal
I Taylor kap.3 lærte I at i et tælleeksperiment er usikkerheden på en tælling givet af "kvadratrods-reglen" til at være kvadratroden af tallet. Denne regel kan gøres mere præcis med følgende udsagn (bevises i Taylor kap. 11): Hvis man tager adskillige tællinger
af antallet ν af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet T, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet T er gennemsnittet ̅ν = Σ νi/N af målingerne, og (2) standardafvigelsen af de observerede tal er approksimativt lig med kvadratroden af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er √ ̅ν . I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger ν, er det bedste estimat ν, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$; dette resultat er bare kvadratrods-reglen fra Taylor kap.~3, med den ekstra information at ``usikkerheden faktisk er standardafvigelsen, der definerer grænserne hvorimellem man kan være cirka $68\%$ sikker på at det sande svar ligger.
