opgaver:Uge1mandag

Disse simple øvelser skal laves som en warm-up til MATLAB. Dem der allerede er trygge ved at bruge MATLAB kan nøjes med at skimme dem igennem - men det anbefales at I går igennem dem alle for at være sikre på at I ved hvad I laver!

Opgaverne er taget fra [1] (Basic syntax and command-line exercises 1-6 og 8, samt Basic array exercises 1-3).

Simpel syntaks og kommando-linie

Opgave 1.1

Lav en vektor bestående af de lige heltal mellem 31 og 75.

Hint 

Gå ind i MATLAB hjælp og søg på colon, og læs så Colon (:) artiklen. Du kan evt. også se på side 3-7 i Getting Started with MATLAB bogen, der ligger på Absalon.

Her vil du se at man kan lave en liste ved hjælp af koden j:i:k. Denne liste vil starte i j og lægge i til for hvert element, indtil den kommer til k. Hvis den ikke rammer k præcist, så vil den stoppe før den kommer over.

Løsning 

Dette gøres med kolon-operatoren, der kan lave lister:

x = 32:2:75

Med denne kode starter listen ved 32 (det første af de lige tal vi gerne vil have), og stiger 2 hver gang, indtil den når til 75. Den når faktisk til 74, og ser så at 76 er over 75, og stopper derfor ved 74.

Opgave 1.2

Lad x = [2 5 1 6].

1. Lav en ny vektor af x ved at addere 16 til hvert element.
2. Lav en ny vektor der indeholder alle ulige-indeks elementerne af x, adderet med 3.
3. Udregn kvadratroden af hvert element.
4. Udregn kvadratet af hvert element.

Hint 

For at løse disse opgaver kan det være en god idé at se på Getting Started with MATLAB bogen, der ligger på Absalon. Læs om arrays fra side 3-21. Vær sikker på at du forstår hvornår man skal bruge punktum foran matematiske operatorer.

Løsning 

1. For at lægge et tal til alle elementerne i et array skal man simpelthen bruge et plus. MATLAB forstår godt at et enkelt tal lagt til et array ikke giver mening, og laver derfor operationen på alle elementerne i arrayet:

y = x + 16

2. For at lægge et tal til kun nogle bestemte elementer i et array skal man lægge det til array'et med indekserne man gerne vil have - skrevet her som en liste:

z1 = x(1:2:end) + 3

alternativt kan man få hele x, hvor der kun er lagt 3 til de ønskede steder:

z2 = x + 3*[0 1 0 1]

dette kan selvfølgelig også gøres endnu mere generelt ved at bruge loops (det behøver I ikke kunne endnu, men det er en god ting at læse op på!):

for i = 1:length(x)

if mod(i,2) == 0

bool = 0;  %lige tal

else

bool = 1;  %ulige tal

end

z3(i) = x(i) + 3*bool;

end

z3

3. Kvadratroden er en funktion i MATLAB, og funktioner der fungerer på skalarer fungerer automatisk element-vist. Derfor fås kvadratroden af hvert element i x ved

sqrt(x)

4. Kvadratet af en vektor er ikke det samme som kvadratet af alle elementerne hver for sig, og derfor skal man huske et punktum her:

x.^2

Man kunne også vælge at bruge

x.*x

Opgave 1.3

Lad x = [3 2 6 8]' og y = [4 1 3 5]'. (NB. x og y bør være søjlevektorer).

1. Addér summen af elementerne i x til y.
2. Hæv hvert element af x i potensen specificeret af det tilsvarende element i y.
3. Dividér hvert element i y med det tilsvarende element i x.
4. Gang hvert element i x med det tilsvarende element i y, og gem resultatet i den ny variabel z.
5. Addér elementerne i z og gem resultatet i den ny variabel w.
6. Udregn x'*y - w og fortolk resultatet.

Hint 

Det kan være en god idé at se på MATLAB funktionen sum. Find selv information om den ved at åbne MATLAB hjælp og søge på den. Her skal du også være sikker på at du forstår hvornår man skal bruge punktum foran matematiske operatorer.

Løsning 

1. Her skal man bruge funktionen sum, der summer over alle elementerne i den vektor den bliver fodret med,

y + sum(x)

2. Da vektorerne x og y har samme længde, er det bare at skrive (husk at bruge et punktum, så MATLAB forstår at du vil gøre det element-vist)

x.^y

3. Tilsvarende divideres der simpelthen ved

y./x

4. Den nye variabel defineres ved

z = x.*y

5. Igen bruges sum funktionen, og

w = sum(z)

6. Hvis alt er blevet gjort korrekt, skulle man gerne se at x'*y - w er lig med nul. Udtrykket x'*y er et normalt prikprodukt mellem en rækkevektor (x der er blevet transponeret med '-operatoren) og en søjlevektor. Derimod er w det manuelt udregnede prikprodukt.

Opgave 1.4

Udregn de følgende MATLAB udtryk i hånden, og brug så MATLAB til at tjekke resultaterne:

1. 2 / 2 * 3
2. 6 - 2 / 5 + 7 ^ 2 - 1
3. 10 / 2 \ 3 - 3 + 2 * 4
4. 3 ^ 2 / 4
5. 3 ^ 2 ^ 2
6. 2 + round(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3
7. 2 + floor(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3
8. 2 + ceil(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3

Hint 

Det kan hjælpe at skrive udtrykkene ind i MATLAB og tilføje parenteser så de bliver nemmere at læse. Hvis resultatet stadig er det samme efter parenteserne er blevet sat, så har du højst sandsynligt ikke misforstået noget.

Løsning 

For at vise hvad udtrykkene betyder, er de her omskrevet med ekstra parenteser:

1. 2 / 2 * 3 = (2/2) * 3
2. 6 - 2 / 5 + 7 ^ 2 - 1 = 6 - (2/5) + (7^2) - 1
3. 10 / 2 \ 3 - 3 + 2 * 4 = 3/(10/2) - 3 + (2*4)
4. 3 ^ 2 / 4 = (3^2) / 4
5. 3 ^ 2 ^ 2 = (3^2) ^ 2
6. 2 + round(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3 = 2 + (round((6/9) + (3*2))/2) - 3
7. 2 + floor(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3 = 2 + (floor((6/9) + (3*2))/2) - 3
8. 2 + ceil(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3 = 2 + (ceil((6/9) + (3*2))/2) - 3

Bemærk at round() funktionen runder op/ned automatisk, mens floor() altid runder ned og ceil() altid runder op.

Opgave 1.5

Lav en vektor x med elementerne...

1. 2, 4, 6, 8, ...
2. 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4
3. 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
4. 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...

Løsning 

Igen skal man gøre brug af kolon operatoren, mens man i de sidste to løser opgaven nemmest ved at lave flere lister og kombinere dem:

1. 2:2:10
2. 10:-2:-4
3. x = 1:10; 1./x
4. x = 0:10; y = 1:11; x./y

I de uendelige lister vælger man selvfølgelig bare selv sit maksimum. Det er dog vigtigt i den sidste af opgaverne at man laver de to arrays lige lange - ellers er det ikke muligt at dividere dem med hinanden element-vist.

Opgave 1.6

Lav en vektor x med elementerne

x_n = (-1)ⁿ⁺¹/(2n-1)

Summér elementerne i versionen af denne vektor med 100 elementer.

Hint 

Start med at lave en liste n, som du så kan udregne x ved hjælp af. Hvis du vil have 100 elementer laver du f.eks.

n = 1:100

Og husk alle de nødvendige punktummer i udtrykket når du udregner x.

Løsning 

Opgaven kan løses ved de følgende tre linier:

n = 1:100

x = ( (-1).^(n+1) ) ./ (2*n - 1)

sum(x)

Opgave 1.7

Givet en vektor, t, med længde n, lav MATLAB udtryk der vil udregne de følgende udtryk. Test at de virker for t = 1:0.2:2.

1. ln(2 + t + t²)
2. e^t(1 + cos(3t))
3. cos²(t) + sin²(t)
4. tan^-1(t) (dette er den inverse tangentfunktion)
5. cot(t)
6. sec²(t) + cot(t) - 1

Hint 

Alle de typiske matematiske funktioner som cos, sin og exp er allerede standardfunktioner i MATLAB, og de opererer element-vist. Husk dine punktummer når de er nødvendige.

Bemærk at inverse trigonometriske funktioner starter med a, som f.eks. acos eller atan.

Løsning 

Udtrykkene er stort set som man forventer de vil være, når bare man husker sine punktummer hvor de er nødvendige.

1. log(2+t+t.^2)
2. exp(t).*(1 + cos(3*t))
3. cos(t).^2 + sin(t).^2
4. atan(t)
5. cot(t)
6. sec(t).^2 + cot(t) - 1

Simple arrays

Opgave 2.1

Givet x = [3 1 5 7 9 2 6], forklar hvad de følgende kommandoer "betyder":

1. x(3)
2. x(1:7)
3. x(1:end)
4. x(1:end-1)
5. x(6:-2:1)
6. x([1 6 2 1 1])
7. sum(x)
8. x([true true false false true true false])

Løsning 

1. x(3) er element nummer 3 i x.
2. x(1:7) er elementerne mellem (og inkl.) element 1 og 7, som en vektor.
3. x(1:end) er alle elementer fra og med element 1 til og med det sidste element.
4. x(1:end-1) er alle elementer fra og med element 1 til og med det næstsidste element.
5. x(6:-2:1) er element 6,4,2 - altså alle elementer fra og med 6, med to mindre for hvert tal, indtil man når 1.
6. x([1 6 2 1 1]) er giver x-elementerne i rækkefølgen element 1, 6, 2, 1 og 1 igen.
7. sum(x) er summen af alle elementer i x.
8. x([true true false false true true false]) bruger et logisk array til at bestemme hvilke elementer der skal vises.

Opgave 2.2

Givet array'et A = [ 2 4 1 ; 6 7 2 ; 3 5 9], find kommandoerne der behøves for at...

1. definere en vektor x1 der indholder den første række af A.
2. definere et array y der indeholder de sidste 2 rækker af A.
3. udregne summen over kolonnerne i A.
4. udregne summen over rækkerne i A.
5. udregne standardafvigelsen af gennemsnittet for hver kolonne i A (NB. standardafvigelsen af gennemsnittet er defineret som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af antallet af elementer der bruges til at udregne gennemsnittet).

Hint 

Her skal du bruge kolon operatoren igen, og bemærke at den foruden at lave lister også kan bruges som et catch-all indeks i et array. Hvis du har et 1D array x, og skriver x(:), får du bare hele array'et.

Det kan være en hjælp at læse lidt om funktionen std() i MATLAB hjælpen.

Løsning 

1. x1 = A(1,:)
2. y = A(end-1:end,:)
3. sum(A)
4. sum(A,2)
5. N = size(A,1); e = std(A)/sqrt(N)

Opgave 2.3

Givet arrays'ene x = [1 4 8], y = [2 1 5] og A = [3 1 6 ; 5 2 7], find ud af hvilke udtryk der kan udføres korrekt, og giv resultaterne. Hvis udtrykket ikke kan udføres, så find ud af hvorfor. Kommandoen whos kan være smart at bruge her.

1. x + y
2. x + A
3. x' + y
4. A - [x' y']
5. [x ; y']
6. [x ; y]
7. A - 3

Løsning 

1. x + y virker, og den er en ny vektor der indeholder summen af de samme elementer i x og y.
2. x + A virker ikke, da x og A ikke har samme dimensioner.
3. x' + y virker ikke, da x' er en søjlevektor og y er en rækkevektor.
4. A - [x' y'] virker ikke, da A er "flad" og [x' y'] er "høj".
5. [x ; y'] virker ikke, da man ikke kan samle en matrix af to vektorer der har forskellige dimensioner på denne måde (en række og en søjle).
6. [x ; y] virker, og laver en ny matrice med x i den første række og y i den anden.
7. A - 3 virker, og trækker 3 fra alle elementer i A.

Samlede løsninger

• Et samlet dokument med MATLAB kode til at løse alle opgaverne ovenfor kan hentes her: opgaver_uge1_1_bucknell.m