opgaver:Uge1

(Difference between revisions)
Jump to: navigation, search
Line 329: Line 329:
 
:<code>sd = zeros(1,10);</code>
 
:<code>sd = zeros(1,10);</code>
  
Den første bin udregnes manuelt, og så kan et loop gøre resten:
+
Et loop laver udregningerne:
  
:<code>gn(1) = sum(t(1:bin))/bin;</code>
+
:<code>for n = 0:9</code>
:<code>sd(1) = std(t(1:bin));</code>
+
:<code>for n = 1:9</code>
+
 
::<code>  gn(n+1) = sum(t(n*bin+1:n*bin + bin))/bin;</code>
 
::<code>  gn(n+1) = sum(t(n*bin+1:n*bin + bin))/bin;</code>
 
::<code>  sd(n+1) = std(t(n*bin+1:n*bin + bin));</code>
 
::<code>  sd(n+1) = std(t(n*bin+1:n*bin + bin));</code>

Revision as of 11:01, 10 April 2012

Disse statistik-øvelser er redigerede udgaver af opgaverne 3.4, 3.25, 4.6, 4.28, 5.11 og 5.31 fra R. J. Taylor's An Introduction to Error Analysis.

Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.


Contents

Opgave 1 - Tælletal

Når en prøve med radioaktive atomer henfalder, vil antallet af radioaktive atomer falde, og prøvens radioaktivitet vil falde proportionalt med dette. For at undersøge denne effekt måler en fysiker på partiklerne der udsendes fra en radioaktiv prøve i løbet af to timer. Hun tæller antallet af partikler der udsendes i løbet af en 1 minut lang periode med halve timers intervaller, med følgende resultater:

Tid gået, $t$ (timer): 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Antal tællinger, $\nu$, på 1 minut: 214 134 101 61 54

Spørgsmål a

Brug MATLAB til at plotte antallet af tællinger imod den tid der er gået. Inkludér errorbars for at vise usikkerheden på tallene. (Negligér usikkerheder i den tid der er gået).

Spørgsmål b

En teori forudsiger at antallet af udsendte partikler burde falde eksponentielt ved $\nu = \nu_0 \exp{(-rt)}$, hvor der (i dette tilfælde) gælder at $\nu_0 = 200$ og $r = 0.693 \,\text{hr}^{-1}$. Plot denne forventede kurve på din graf oven på din tidligere graf, og kommentér på hvor godt data ser ud til at passe med den teoretiske forudsigelse.


Opgave 2 - Usikkerheden af et potensudtryk

Fra Taylor's regel (3.10) om usikkerheder af potensudtryk, ved vi at et $q = x^2$ har en relativ usikkerhed der er dobbelt så stor som den relative usikkerhed i $x$;

$ \dfrac{\delta q}{q} = 2 \dfrac{\delta x}{x} . $

Overvej nu det følgende (forkerte) argument: Vi kan tænke på $x^2$ som $x$ gange $x$, så

$ q = x \times x; $

derfor vil der ifølge Taylor's regel (3.18) gælde at

$ \dfrac{\delta q}{q} = \sqrt{ \left( \dfrac{\delta x}{x} \right)^2 + \left( \dfrac{\delta x}{x} \right)^2 } = \sqrt2 \dfrac{\delta x}{x} . $

Denne konklusion er forkert. Forklar hvorfor.

Bonus: Prøv at undersøge dette i MATLAB ved at sammenligne den relative usikkerhed (SD divideret med gennemsnitsværdien) for en række af tilfældige tal med den relative usikkerhed på samme række af tal kvadreret. Du kan evt. læse i MATLAB-hjælpen hvad funktionen randn gør.


Opgave 3 - Flere tælletal

I Taylor kap. 3 lærte I at i et tælleeksperiment er usikkerheden på en tælling givet af "kvadratrods-reglen" til at være kvadratroden af tallet. Denne regel kan gøres mere præcis med følgende udsagn (bevises i Taylor kap. 11): Hvis man tager adskillige tællinger

$ \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_N $

af antallet $\nu$ af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet $T$, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet $T$ er gennemsnittet $\overline\nu = \sum \nu_i/N$ af målingerne, og (2) standardafvigelsen af de observerede tal er approksimativt lig med kvadratroden af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er $\sqrt{\overline\nu}$. I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger $\nu$, er det bedste estimat $\nu$, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$; dette resultat er bare kvadratrods-reglen fra Taylor kap. 3, med den ekstra information at "usikkerheden" faktisk er standardafvigelsen, der definerer grænserne hvorimellem man kan være cirka 68 % sikker på at det sande svar ligger.

En fysiker bruger en Geiger-tæller til at måle antallet af kosmiske partikler der kommer til hans laboratorie i givne to-sekunders intervaller. Han tæller dette tal 20 gange med følgende resultater:

10, 13, 8, 15, 8, 13, 14, 13, 19, 8,
13, 13, 7, 8, 6, 8 , 11, 12, 8, 7.

Spørgsmål a

Find gennemsnittet og standardafvigelsen på disse tal vha. MATLAB.

Spørgsmål b

Standardafvigelsen på tallene skulle gerne være ca. lig med kvadratroden på deres gennemsnit. Hvor godt passer dette?


Opgave 4 - Systematiske fejl

Et pendul består af en metalkugle der hænger i en snor. Den effektive længde af pendulet er længden af snoren plus radius af kuglen.

Systematiske fejl kommer nogle gange fra at fysikeren helt uvidende måler det forkerte. Her er et eksempel: En studerende forsøger af måle $g$ ved at bruge et pendul lavet af en stålkugle der hænger i en let snor (se figuren). Han måler fem forskellige længder af pendulet og de tilhørende perioder $T$ som følger:

Længde, $l$ (cm): 51.2 59.7 68.2 79.7 88.3
Periode, $T$ (s): 1.448 1.566 1.669 1.804 1.896.



Spørgsmål a

For hver datapar udregner han $g$ som $g = 4 \pi^2 l/T^2$. Han udregner derefter gennemsnittet af de fem værdier, deres SD, og deres SDOM. Ved at antage at alle hans fejl er tilfældige kan han bruge SDOM som sin endelige usikkerhed, og skriver sit resultat på standardformen gennemsnit $\pm$ SDOM. Find hans resultat for $g$ vha. MATLAB.

Spørgsmål b

Han sammenligner nu sit resultat med den accepterede værdi $g = 979.6 \,\text{cm}/\text{s}^2$ og forfærdes over at se at hans diskrepans er tæt på 10 gange større end hans usikkerhed. Bekræft denne sørgelige konklusion.

Spørgsmål c

Efter at have gennemtjekket alle sine udregninger konkluderer han at han må have overset en systematisk fejl. Han er helt sikker på at der ikke var problemer med målingen af perioden $T$, så han spørger sig selv: Hvor stor skulle en systematisk fejl i længden $l$ være for at grænserne for den totale usikkerhed lige præcis inkluderer den accepterede værdi $979.6 \,\text{cm}/\text{s}^2$? Vis med MATLAB at svaret er ca. 1 cm.

Spørgsmål d

Dette resultat ville betyde at hans længdemålinger har en systematisk fejl på omkring en centimeter - en konklusion som han først afviser som absurd. Mens han stirrer på pendulet kommer han dog i tanke om at 1 cm er ca. radius af kuglen, og at de længder han har målt var længderne af snoren. Da den korrekte længde af et pendul er afstanden fra fastgørelsespunktet til centrum af kuglen (se figuren), er hans målinger altså systematisk blevet målt forkert med radius af kuglen. Han bruger derfor en skydelære til at måle kuglens diameter, der viser sig at være 2.00 cm. Lav de nødvendige korrektioner til hans data og udregn hans endelige resultat for $g$ med dennes usikkerhed.


Opgave 5 - Gauss-fordelingen

Plot Gauss-fordelingen (også kaldt normalfordelingen),

$ G_{X,\sigma}(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\dfrac{(x-X)^2}{2\sigma^2} \right)} , $

i den samme MATLAB figur for de følgende to sæt af parametre: $X=2$, $\sigma=1$, og $X=3$, $\sigma=0.3$. Tilføj en titel, labels på akserne, og en legend til dit plot, og sammenlign de to grafer.


Opgave 6 - Binning

I den følgende liste er der 40 målinger $t_1,\ldots,t_{40}$ af tiden det tager en sten at falde fra et vindue til jorden (alle i hundrededele sekunder):

63 58 74 78 70 74 75 82 68 69
76 62 72 88 65 81 79 77 66 76
86 72 79 77 60 70 65 69 73 77
72 79 65 66 70 74 84 76 80 69

Spørgsmål a

Brug MATLAB til at udregne standardafvigelsen $\sigma_t$ for alle 40 målinger.

Spørgsmål b

Udregn gennemsnittene $\overline t_1,\ldots,\overline t_{10}$ af fire målinger af gangen (f.eks. af de fire målinger i hver af de 10 kolonner, eller af fire nabo-tal ad gangen). Du kan tænke på dataen som om den kom fra 10 eksperimenter, hvor man i hvert eksperiment fandt gennemsnittet af fire tidsmålinger. Givet resultatet i del (a), hvad forventer du så at standardafvigelsen på de 10 gennemsnit $\overline t_1,\ldots,\overline t_{10}$ er? Udregn den.

Spørgsmål c

Plot histogrammer for både de 40 individuelle målinger $t_1,\ldots,t_{10}$ og de 10 gennemsnit $\overline t_1,\ldots,\overline t_{10}$. Brug de samme skalaer og bin størrelser for begge plot, så de kan sammenlignes. Hvad forventer du af de to histogrammer, og ser de faktisk sådan ud?


Samlede løsninger



Personal tools
Namespaces
Variants
Actions
Navigation
Opgaver
Andet
Toolbox
Commercial