opgaver:Uge4 - Revision history

Silas: RO: linie --> linje

2014-05-12T20:12:05Z

RO: linie --> linje

Pia Jensen at 13:16, 10 April 2012

2012-04-10T13:16:05Z

Pia Jensen at 13:10, 10 April 2012

2012-04-10T13:10:51Z

Pia Jensen at 12:56, 10 April 2012

2012-04-10T12:56:20Z

Pia Jensen at 10:00, 7 March 2012

2012-03-07T10:00:54Z

Pia Jensen at 09:58, 7 March 2012

2012-03-07T09:58:30Z

Pia Jensen at 09:57, 7 March 2012

2012-03-07T09:57:55Z

Pia Jensen at 09:52, 7 March 2012

2012-03-07T09:52:35Z

Pia Jensen at 09:46, 7 March 2012

2012-03-07T09:46:25Z

Pia Jensen at 09:32, 7 March 2012

2012-03-07T09:32:12Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
-I denne opgave skal I, lige som i sidste uge, fabrikere jeres egne data - denne gang en Gaussisk linieprofil med en bestemt bredde og placering, med Poisson statistik på tælletallene.
+I denne opgave skal I, lige som i sidste uge, fabrikere jeres egne data - denne gang en Gaussisk linjeprofil med en bestemt bredde og placering, med Poisson statistik på tælletallene.
 == Opgave 1 - Spektrometer ==
-Vi forestiller os et spektrometer, der tæller fotoner som funktion af bølgelængde; én bølgelængde ad gangen. Vi skal måle en enkelt spektrallinie. Liniens amplitude er 100 tællinger per sekund, liniens centrum 5000 Å, og den har bredde $\sigma$ 50 Å. Der er en baggrund på 10 tællinger per sekund. Usikkerheden på tællinger er givet som $\sqrt{N}$ tællestatistik, og antages gaussisk.
+Vi forestiller os et spektrometer, der tæller fotoner som funktion af bølgelængde; én bølgelængde ad gangen. Vi skal måle en enkelt spektrallinje. Linjens amplitude er 100 tællinger per sekund, linjens centrum 5000 Å, og den har bredde $\sigma$ 50 Å. Der er en baggrund på 10 tællinger per sekund. Usikkerheden på tællinger er givet som $\sqrt{N}$ tællestatistik, og antages gaussisk.
 === Spørgsmål 1 - Simulation af data ===
-Simulér en måleserie fra 4500 Å til 5500 Å med step af 10 Å, ét sekund per punkt. Brug MATLAB <code>fit</code> funktionen til at fitte en Gaussisk linieprofil til dataen. Vis de simulerede data og det bedste fit i samme plot.
+Simulér en måleserie fra 4500 Å til 5500 Å med step af 10 Å, ét sekund per punkt. Brug MATLAB <code>fit</code> funktionen til at fitte en Gaussisk linjeprofil til dataen. Vis de simulerede data og det bedste fit i samme plot.
 {{hidden begin|toggle=right|title=Hint|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 Ligesom i sidste uge skal vi simulere nogle støjede data ud fra en kendt model. Start med at lave dine model-data, og tilføj så støj ved at lægge et tal til hvert af punkternes tælletal-værdi. Støjen skal være et tal der er Gaussisk fordelt omkring nul, med en bredde der er usikkerheden på punktet (og usikkerheden på punktet er jo givet ved tællestatistik!). Husk at tælletal er positive heltal, så du er nødt til at runde støjen op eller ned til heltal.
@@ Line 15: / Line 15: @@
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Først defineres parametrene for den Gaussiske linieprofil-model. Her defineres signalets amplitude <code>a</code>, baggrundens amplitude <code>d</code>, centrum af peaken <code>x0</code> og bredden af peaken <code>sig</code>
+Først defineres parametrene for den Gaussiske linjeprofil-model. Her defineres signalets amplitude <code>a</code>, baggrundens amplitude <code>d</code>, centrum af peaken <code>x0</code> og bredden af peaken <code>sig</code>
 :<code>a = 100;</code>
@@ Line 65: / Line 65: @@
 :<code>sig_fit = f1.c;</code>
 :<code>b_fit = f1.d/t;</code>
-[[File:uge4fig2.png|frame|De simulerede datapunkter for en Gaussisk linieprofil, sammen med et Gaussisk fit.]]
+[[File:uge4fig2.png|frame|De simulerede datapunkter for en Gaussisk linjeprofil, sammen med et Gaussisk fit.]]
-og med disse kan man udregne fit-linien
+og med disse kan man udregne fit-linjen
 :<code>x_fit = x_min:0.05:x_max;</code>
 :<code>y_fit = t*a_fit(j)*exp(-((x_fit-x0_fit(j)).^2)./(2*sig_fit(j)^2)) + t*b_fit(j);</code>
-Til sidst kan man plotte de simulerede datapunkter sammen med fit-linien,
+Til sidst kan man plotte de simulerede datapunkter sammen med fit-linjen,
 :<code>figure</code>
@@ Line 118: / Line 118: @@
 === Spørgsmål 3 - Planlægning af måling ===
-(SVÆRT) Hvis der er 100 sekunder til rådighed, hvordan skal målingen så planlægges for at bestemme liniens midtpunkt bedst? Og hvad med liniens bredde?
+(SVÆRT) Hvis der er 100 sekunder til rådighed, hvordan skal målingen så planlægges for at bestemme linjens midtpunkt bedst? Og hvad med linjens bredde?
 {{hidden begin|toggle=right|title=Hint|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 Tænk over hvordan du ville gøre hvis du faktisk sad ved et eksperiment og intet vidste på forhånd. Ville du bare gå i gang fra en ende af og måle punkt efter punkt, eller ville du hoppe rundt og håbe på at du var heldig? Tænk over forskellige fordele og ulemper.
@@ Line 125: / Line 125: @@
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Som en første iteration kan man se hvad der sker med statistikken hvis man måler på en ligeligt opdelt linie, med samme tælletid for hvert punkt. Start med at omdefinere din værdi af <code>t</code> til at blive udregnet med
+Som en første iteration kan man se hvad der sker med statistikken hvis man måler på en ligeligt opdelt linje, med samme tælletid for hvert punkt. Start med at omdefinere din værdi af <code>t</code> til at blive udregnet med
 :<code>t_meas = 100;</code>

@@ Line 153: / Line 153: @@
 \end{align}$
-så hvis f.eks. $a=10$, $b=100$ og $n=1$, så er $t=4.2\,\text{s}$ for et enkelt målepunkt i toppen af peaken. Hvis man vil have bedre sikkerhed, så f.eks. $n=2$, så er $t=16.8\,\text{s}$.
+så hvis f.eks. $a=10$, $b=100$ og $n=1$, så er $t=4.2\,\text{s}$ for et enkelt målepunkt i toppen af peaken. Hvis man vil have bedre sikkerhed, så f.eks. $n=2$ (også kaldt et signifikant signal), så er $t=16.8\,\text{s}$.
 {{hidden end}}

@@ Line 148: / Line 148: @@
 at - n\sqrt{(a+b)t} &= n \sqrt{bt} \\
 at &= n (\sqrt{bt} + \sqrt{(a+b)t}) \\
-a^2 t^2 &= n^2 (bt + (a+b)t + 2 \sqrt{b(a+b)t}t) \\
+a^2 t^2 &= n^2 (bt + (a+b)t + 2 \sqrt{b(a+b)}t) \\
-a^2 t &= n^2 (2b + a + 2\sqrt{b(a+b)t}) \\
+a^2 t &= n^2 (2b + a + 2\sqrt{b(a+b)}) \\
-t &= \dfrac{n^2 (2b + a + 2\sqrt{b(a+b)t})}{a^2}
+t &= \dfrac{n^2 (2b + a + 2\sqrt{b(a+b)})}{a^2}
 \end{align}$

@@ Line 3: / Line 3: @@
 == Opgave 1 - Spektrometer ==
-Vi forestiller os et spektrometer, der tæller fotoner som funktion af bølgelængde; én bølgelængde ad gangen. Vi skal måle en enkelt spektrallinie. Liniens amplitude er 100 tællinger per sekund, liniens centrum 5000 Å, og den har bredde ($\sigma$) 50 Å. Der er en baggrund på 10 tællinger per sekund. Usikkerheden på tællinger er givet som $\sqrt{N}$ tællestatistik, og antages gaussisk.
+Vi forestiller os et spektrometer, der tæller fotoner som funktion af bølgelængde; én bølgelængde ad gangen. Vi skal måle en enkelt spektrallinie. Liniens amplitude er 100 tællinger per sekund, liniens centrum 5000 Å, og den har bredde $\sigma$ 50 Å. Der er en baggrund på 10 tællinger per sekund. Usikkerheden på tællinger er givet som $\sqrt{N}$ tællestatistik, og antages gaussisk.
 === Spørgsmål 1 - Simulation af data ===
@@ Line 125: / Line 125: @@
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Som en første iteration kan man se hvad der sker med statistikken hvis man måler på en ligelidt opdelt linie, med samme tælletid for hvert punkt. Start med at omdefinere din værdi af <code>t</code> til at blive udregnet med
+Som en første iteration kan man se hvad der sker med statistikken hvis man måler på en ligeligt opdelt linie, med samme tælletid for hvert punkt. Start med at omdefinere din værdi af <code>t</code> til at blive udregnet med
 :<code>t_meas = 100;</code>
@@ Line 132: / Line 132: @@
 hvor <code>t_meas</code> er den totale tid der skal måles i. Nu kan du køre dit loop, og se på distributionen af dine fitte-parametre. Prøv evt. at ændre på step-størrelsen af dine målinger, så du får færre eller flere datapunkter, mens du stadig tæller den samme tid totalt. Ændrer dette noget ved distributionerne?
-Du kan også prøve at lave en dataserie hvor du først måler meget kort tid på mange ligelidt fordelte punkter, og så bagefter måler i lidt længere tid nogle af de steder hvor det ser ud til at der er en peak.
+Du kan også prøve at lave en dataserie hvor du først måler meget kort tid på mange ligeligt fordelte punkter, og så bagefter måler i lidt længere tid nogle af de steder hvor det ser ud til at der er en peak.
 Hvis du gerne vil kode lidt mere avanceret, kan du jo forsøge at kode en søger-mekanisme, som altid vil forsøge at finde det højeste punkt af en peak.

← Older revision		Revision as of 10:00, 7 March 2012
Line 155:		Line 155:
	så hvis f.eks. $a=10$, $b=100$ og $n=1$, så er $t=4.2\,\text{s}$ for et enkelt målepunkt i toppen af peaken. Hvis man vil have bedre sikkerhed, så f.eks. $n=2$, så er $t=16.8\,\text{s}$.		så hvis f.eks. $a=10$, $b=100$ og $n=1$, så er $t=4.2\,\text{s}$ for et enkelt målepunkt i toppen af peaken. Hvis man vil have bedre sikkerhed, så f.eks. $n=2$, så er $t=16.8\,\text{s}$.
	{{hidden end}}		{{hidden end}}
		+
		+
		+
		+	== Samlede løsninger ==
		+	* Et samlet dokument med MATLAB kode til at løse alle opgaverne ovenfor kan hentes her: [[Media:opgaver_uge4_spektrometer.m\|opgaver_uge4_spektrometer.m]]

@@ Line 141: / Line 141: @@
 === Spørgsmål 4 - Stor baggrund ===
 (SVÆRT) Lad baggrunden være 100 tællinger per sekund og amplituden være 10 tællinger per sekund. Hvor længe skal der tælles for at det kan afgøres, om der er en peak (amplitude signifikant større end nul)?
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 For at udregne svaret, løses det hvornår toppunktet for peaken ligger $n$ gange sin usikkerhed plus $n$ gange usikkerheden på baggrunden, væk fra baggrunden. Dette løses med

@@ Line 51: / Line 51: @@
 :<code>err_exp = sqrt(y_exp);</code>
 Man kan nu lave et fit til de simulerede data, ved hjælp af MATLAB's indbyggede <code>fit</code> funktion. Denne gang skal man fitte til en funktion man selv skriver ind:
@@ Line 110: / Line 107: @@
 Fit parametrene gemmes, og så kan loopet stoppes igen,
-:<code>...</code>
+::<code>...</code>
-::<code>a_fit(j)   = f1.a/t;
+::<code>a_fit(j)   = f1.a/t;</code>
-::<code>x0_fit(j)  = f1.b;
+::<code>x0_fit(j)  = f1.b;</code>
-::<code>sig_fit(j) = f1.c;
+::<code>sig_fit(j) = f1.c;</code>
-::<code>b_fit(j)   = f1.d/t;
+::<code>b_fit(j)   = f1.d/t;</code>
 :<code>end</code>
@@ Line 124: / Line 121: @@
 {{hidden begin|toggle=right|title=Hint|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 Tænk over hvordan du ville gøre hvis du faktisk sad ved et eksperiment og intet vidste på forhånd. Ville du bare gå i gang fra en ende af og måle punkt efter punkt, eller ville du hoppe rundt og håbe på at du var heldig? Tænk over forskellige fordele og ulemper.
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
@@ Line 131: / Line 130: @@
 :<code>t = t_meas / length(x_exp);</code>
-hvor <code>t_meas</code> er den totale tid der skal måles i. Nu kan du køre dit loop, og se på distributionen af dine fitte-parametre.
+hvor <code>t_meas</code> er den totale tid der skal måles i. Nu kan du køre dit loop, og se på distributionen af dine fitte-parametre. Prøv evt. at ændre på step-størrelsen af dine målinger, så du får færre eller flere datapunkter, mens du stadig tæller den samme tid totalt. Ændrer dette noget ved distributionerne?
-:<code></code>
+Der er rigtig mange muligheder for at måle på det givne signal, og mange af dem er lige gode. Det vigtige med denne opgave er at I tænker over hvordan I ville optimere den tid I er givet til et sådant eksperiment.
 {{hidden end}}

@@ Line 15: / Line 15: @@
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Først defineres parametrene for den Gaussiske linieprofil-model. Her defineres signalets amplitude <code>a</code>, baggrundens amplitude <code>d</code>, centrum af peaken <code>x0</code>, bredden af peaken <code>sig</code>, og tiden der i alt bliver målt i (i sekunder) <code>t_meas</code>,
+Først defineres parametrene for den Gaussiske linieprofil-model. Her defineres signalets amplitude <code>a</code>, baggrundens amplitude <code>d</code>, centrum af peaken <code>x0</code> og bredden af peaken <code>sig</code>
 :<code>a = 100;</code>
@@ Line 21: / Line 21: @@
 :<code>x0 = 5000;</code>
 :<code>sig = 50;</code>
 videre skal akserne for eksperimentet bestemmes; start og slut for hvor der skal måles, <code>x_min</code> og <code>x_max</code>, samt step-størrelsen <code>x_step</code>.
@@ Line 35: / Line 34: @@
 og til sidst kan man også finde hvor lang tid der måles per datapunkt,
-:<code>t = t_meas / length(x_exp);</code>
+:<code>t = 1;</code>
-−
-Denne skal selvfølgelig bare sættes til <code>t = 1</code> for denne første del af opgaven, for at sørge for at der tælles i et sekund per datapunkt (når man sætter denne værdi manuelt på denne måde, vil <code>t_meas</code> selvfølgelig bare blive ignoreret).
 Nu kan man udregne sit model-datasæt ved at indsætte alle sine informationer i en Gaussisk funktion,
@@ Line 58: / Line 55: @@
-:<code></code>
+Her er <code>Startpoint</code> option'en de første gæt til de fire parametre, altså amplitude, centrum, bredde og baggrund. Her er de bare givet som modellens værdier - men i den virkelige verden kender man selvfølgelig ikke modellen perfekt, og man må bare give nogle cirka-gæt.
-:<code></code>
+Figuren kan ses her til højre.
 {{hidden end}}