opgaver:Uge1 - Revision history

Silas: diskrepans forklaret

2014-04-20T11:43:57Z

diskrepans forklaret

Silas: typos

2014-04-20T10:28:33Z

typos

Silas: moved opgaver:Uge1torsdag to opgaver:Uge1

2014-04-20T09:55:49Z

moved opgaver:Uge1torsdag to opgaver:Uge1

Pia Jensen at 17:34, 24 April 2013

2013-04-24T17:34:17Z

Pia Jensen at 17:34, 24 April 2013

2013-04-24T17:34:05Z

Pia Jensen at 07:05, 23 April 2013

2013-04-23T07:05:34Z

Pia Jensen at 07:05, 23 April 2013

2013-04-23T07:05:12Z

Pia Jensen at 16:08, 26 April 2012

2012-04-26T16:08:08Z

Pia Jensen at 07:18, 16 April 2012

2012-04-16T07:18:45Z

Pia Jensen at 07:16, 16 April 2012

2012-04-16T07:16:24Z

@@ Line 228: / Line 228: @@
 === Spørgsmål b ===
-Han sammenligner nu sit resultat med den accepterede værdi $g = 979.6 \,\text{cm}/\text{s}^2$ og forfærdes over at se at hans diskrepans er tæt på 10 gange større end hans usikkerhed. Bekræft denne sørgelige konklusion.
+Han sammenligner nu sit resultat med den accepterede værdi $g = 979.6 \,\text{cm}/\text{s}^2$ og forfærdes over at se at hans diskrepans (afvigelse fra den accepterede værdi) er tæt på 10 gange større end hans usikkerhed. Bekræft denne sørgelige konklusion.
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 Diskrebansen findes bare som forskellen,

@@ Line 17: / Line 17: @@
 Brug MATLAB til at plotte antallet af tællinger imod den tid der er gået. Inkludér errorbars for at vise usikkerheden på tallene. (Negligér usikkerheder i den tid der er gået).
 {{hidden begin|toggle=right|title=Hint|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-For en hjælp til hvordan man plotter data, se ''Getting Started with MATLAB'' guiden, der ligger på Absalon. Kapitel 4 indeholder en masse plotning generelt. Prøv at slå funktionen <code>errorbar</code> op i MATLAB hjælpen bagefter.
+For en hjælp til hvordan man plotter data, se "MATLAB® Primer" (tidligere kaldet "Getting Started with MATLAB") guiden, der ligger på Absalon. Kapitel 4 indeholder en masse plotning generelt. Prøv at slå funktionen <code>errorbar</code> op i MATLAB hjælpen bagefter.
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
@@ Line 55: / Line 55: @@
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-[[File:uge1tors1fig2.png|frame|Det endelige plot, der sammenligner data med usikkerheder med en teoretisk linie.]]
+[[File:uge1tors1fig2.png|frame|Det endelige plot, der sammenligner data med usikkerheder med en teoretisk linje.]]
-Man definerer linien for teorien rent numerisk ved at lave en tids-akse som man selv bestemmer hvor detaljeret er, f.eks.
+Man definerer linjen for teorien rent numerisk ved at lave en tids-akse som man selv bestemmer hvor detaljeret er, f.eks.
 :<code>tt = -0.25:0.01:2.25;</code>
-og så kan man udregne den teoretiske linie ved
+og så kan man udregne den teoretiske linje ved
 :<code>nu_0 = 200; </code>
@@ Line 72: / Line 72: @@
 Som en sidste krone på værket kan man tilføje en legend med
-:<code>legend('Datapunkter','Teori-linie')</code>
+:<code>legend('Datapunkter','Teori-linje')</code>
-Prøv at lave plottet igen med forskellige layouts af punkterne og linien. F.eks. er der de forskellige farver <code>r</code> (rød), <code>g</code> (grøn), <code>b</code> (blå), <code>y</code> (gul), <code>m</code> (magenta) og <code>k</code> (sort); punkttyperne <code>.</code> (lille prik), <code>x</code> (krydser), <code>o</code> (store prikker) og <code>*</code> (stjerner); og linietyperne <code>-</code> (solid), <code>:</code> (prikker) og <code>--</code> (stiplet), og selvfølgelig mange flere. Prøv at finde disse options i MATLAB hjælpen under <code>LineSpec</code>.
+Prøv at lave plottet igen med forskellige layouts af punkterne og linjen. F.eks. er der de forskellige farver <code>r</code> (rød), <code>g</code> (grøn), <code>b</code> (blå), <code>y</code> (gul), <code>m</code> (magenta) og <code>k</code> (sort); punkttyperne <code>.</code> (lille prik), <code>x</code> (krydser), <code>o</code> (store prikker) og <code>*</code> (stjerner); og linjetyperne <code>-</code> (solid), <code>:</code> (prikker) og <code>--</code> (stiplet), og selvfølgelig mange flere. Prøv at finde disse options i MATLAB hjælpen under <code>LineSpec</code>.
-Du kan også lege med egenskaber som <code>MarkerSize</code>, <code>LineWidth</code>, <code>MarkerEdgeColor</code> og <code>MarkerFaceColor</code> for at gøre linien og punkterne mere tydelige.
+Du kan også lege med egenskaber som <code>MarkerSize</code>, <code>LineWidth</code>, <code>MarkerEdgeColor</code> og <code>MarkerFaceColor</code> for at gøre linjen og punkterne mere tydelige.
 {{hidden end}}
@@ Line 83: / Line 83: @@
 {{hidden begin|toggle=right|title=Læs mere|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-[[File:uge1tors1fig2fit.png|frame|Plottet som før, men nu også med en fit-linie.]]
+[[File:uge1tors1fig2fit.png|frame|Plottet som før, men nu også med en fit-linje.]]
 Lad os sige at data allerede er indlæst i variablene <code>t</code> og <code>nu</code> (med usikkerhed <code>nu_usikk</code>), som ovenfor. Disse er også allerede plottet som det blev gjort i spørgsmål a.
-For at kunne fitte en linie skal man selvfølgelig først definere sin fitte-kurve, der i dette tilfælde vil være $\nu = \nu_0 \exp{(-rt)}$, hvor $\nu_0$ og $r$ nu er fitte-parametre. En funktion kan defineres på mange måder i MATLAB, men når man fitter med simple funktionsudtryk i MATLAB er det nemmest simpelthen bare at fodre fitte-rutinen med den direkte.
+For at kunne fitte en linje skal man selvfølgelig først definere sin fitte-kurve, der i dette tilfælde vil være $\nu = \nu_0 \exp{(-rt)}$, hvor $\nu_0$ og $r$ nu er fitte-parametre. En funktion kan defineres på mange måder i MATLAB, men når man fitter med simple funktionsudtryk i MATLAB er det nemmest simpelthen bare at fodre fitte-rutinen med den direkte.
 :<code>cfun = fit(t',nu','a*exp(-b*x)')</code>
@@ Line 362: / Line 362: @@
 :<code>end</code>
-Man kan så endelig se <code>gn</code> og <code>sd</code> ved simpelthen at printe dem ud via kommandolinien.
+Man kan så endelig se <code>gn</code> og <code>sd</code> ved simpelthen at printe dem ud via kommandolinjen.
 Ud fra del (a) ville man forvente at SD er fordelt omkring den SD man fandt tidligere, og det er også det der sker.

← Older revision		Revision as of 17:34, 24 April 2013
Line 2:		Line 2:

	Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.		Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.
−
−	'''Denne side er endnu ikke blevet opdateret til kurset i 2013, og indeholder derfor referencer til Taylor's bog i stedet for den nye bog af Barlow. Dette bliver rettet i løbet af første kursus-uge!'''

@@ Line 103: / Line 103: @@
 == Opgave 2 - Usikkerheden af et potensudtryk ==
-Fra Taylor's regel (3.10) om usikkerheder af potensudtryk, ved vi at et $q = x^2$ har en relativ usikkerhed der er dobbelt så stor som den relative usikkerhed i $x$;
+Fra Barlow's regel (4.10) om usikkerheder af funktionsudtryk, ved vi at et $q = x^2$ har en relativ usikkerhed der er dobbelt så stor som den relative usikkerhed i $x$;
-:$ \dfrac{\delta q}{q} = 2 \dfrac{\delta x}{x} . $
+:$ \dfrac{\sigma_q}{q} = 2 \dfrac{\sigma_x}{x} . $
 Overvej nu det følgende (forkerte) argument: Vi kan tænke på $x^2$ som $x$ gange $x$, så
@@ Line 111: / Line 111: @@
 :$ q = x \times x; $
-derfor vil der ifølge Taylor's regel (3.18) gælde at
+derfor vil der ifølge Barlow's regel (4.14) gælde at
-:$ \dfrac{\delta q}{q} = \sqrt{ \left( \dfrac{\delta x}{x} \right)^2 + \left( \dfrac{\delta x}{x} \right)^2 }
+:$ \dfrac{\sigma_q}{q} = \sqrt{ \left( \dfrac{\sigma_x}{x} \right)^2 + \left( \dfrac{\sigma_x}{x} \right)^2 }
-                      = \sqrt2 \dfrac{\delta x}{x} . $
+                      = \sqrt2 \dfrac{\sigma_x}{x} . $
 Denne konklusion er forkert. Forklar hvorfor.
@@ Line 120: / Line 120: @@
 Bonus: Prøv at undersøge dette i MATLAB ved at sammenligne den relative usikkerhed (SD divideret med gennemsnitsværdien) for en række af tilfældige tal med den relative usikkerhed på samme række af tal kvadreret. Du kan evt. læse i MATLAB-hjælpen hvad funktionen <code>randn</code> gør.
 {{hidden begin|toggle=right|title=Hint|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Se på hvad antagelserne for at formel (3.18) gælder faktisk er - passer dette med hvad der arbejdes med i denne opgave?
+Se på hvad antagelserne for at formel (4.14) gælder faktisk er - passer dette med hvad der arbejdes med i denne opgave?
 For at se på det i MATLAB kan man generere en række tilfældige tal vha. <code>randn</code> funktionen. Slå den op i MATLAB hjælpen og se hvad den kan.
 {{hidden end}}
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
-Konklusionen i den fejlagtige udledning er forkert fordi man har brugt udtrykket i formel (3.18) uden at overholde dennes antagelser - nemlig at de variable man ganger sammen er uafhængige. Og nu er $x$ jo fuldkommen afhængig af sig selv - hvorfor konklusionen altså kun kan være forkert.
+Konklusionen i den fejlagtige udledning er forkert fordi man har brugt udtrykket i formel (4.14) uden at overholde dennes antagelser - nemlig at de variable man ganger sammen er uafhængige. Og nu er $x$ jo fuldkommen afhængig af sig selv - hvorfor konklusionen altså kun kan være forkert.
 For at se på dette i MATLAB kan man starte med at lave en liste med normalfordelte tal
@@ Line 148: / Line 148: @@
 == Opgave 3 - Flere tælletal ==
-I Taylor kap. 3 lærte I at i et tælleeksperiment er usikkerheden på en tælling givet af "kvadratrods-reglen" til at være kvadratroden af tallet. Denne regel kan gøres mere præcis med følgende udsagn (bevises i Taylor kap. 11): Hvis man tager adskillige tællinger
+I Barlow kap. 3.3.1 kan I læse at i et tælleeksperiment er usikkerheden på en tælling givet af "kvadratrods-reglen" til at være kvadratroden af tallet. Denne regel kan gøres mere præcis med følgende udsagn: Hvis man tager adskillige tællinger
 :$ \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_N $
-af antallet $\nu$ af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet $T$, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet $T$ er gennemsnittet $\overline\nu = \sum \nu_i/N$ af målingerne, og (2) ''standardafvigelsen'' (også kaldt SD, for Standard Deviation) af de observerede tal er approksimativt lig med ''kvadratroden'' af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er $\sqrt{\overline\nu}$. I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger $\nu$, er det bedste estimat $\nu$, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$; dette resultat er bare kvadratrods-reglen fra Taylor kap. 3, med den ekstra information at "usikkerheden" faktisk er standardafvigelsen, der definerer grænserne hvorimellem man kan være cirka 68 % sikker på at det sande svar ligger.
+af antallet $\nu$ af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet $T$, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet $T$ er gennemsnittet $\overline\nu = \sum \nu_i/N$ af målingerne, og (2) ''standardafvigelsen'' (også kaldt SD, for Standard Deviation) af de observerede tal er approksimativt lig med ''kvadratroden'' af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er $\sqrt{\overline\nu}$. I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger $\nu$, er det bedste estimat $\nu$, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$.
 En fysiker bruger en Geiger-tæller til at måle antallet af kosmiske partikler der kommer til hans laboratorie i givne to-sekunders intervaller.  Han tæller dette tal 20 gange med følgende resultater:

← Older revision		Revision as of 07:05, 23 April 2013
Line 3:		Line 3:
	Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.		Det er meningen af så meget som muligt af opgaverne skal laves i MATLAB.

−	Denne side er endnu ikke blevet opdateret til kurset i 2013, og indeholder derfor referencer til Taylor's bog i stedet for den nye bog af Barlow. Dette bliver rettet i løbet af første kursus-uge!	+	'''Denne side er endnu ikke blevet opdateret til kurset i 2013, og indeholder derfor referencer til Taylor's bog i stedet for den nye bog af Barlow. Dette bliver rettet i løbet af første kursus-uge!'''

@@ Line 128: / Line 128: @@
 :<code>x = 10 + randn(1,500);</code>
 Man kan nu helt manuelt se på den relative usikkerhed på <code>x</code> og på <code>x</code> i anden potens, ved at bruge de indbyggede MATLAB funktioner for standardafvigelse og gennemsnit, <code>std</code> og <code>mean</code>:
@@ Line 148: / Line 150: @@
 :$ \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_N $
-af antallet $\nu$ af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet $T$, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet $T$ er gennemsnittet $\overline\nu = \sum \nu_i/N$ af målingerne, og (2) ''standardafvigelsen'' af de observerede tal er approksimativt lig med ''kvadratroden'' af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er $\sqrt{\overline\nu}$. I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger $\nu$, er det bedste estimat $\nu$, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$; dette resultat er bare kvadratrods-reglen fra Taylor kap. 3, med den ekstra information at "usikkerheden" faktisk er standardafvigelsen, der definerer grænserne hvorimellem man kan være cirka 68 % sikker på at det sande svar ligger.
+af antallet $\nu$ af tilfældige hændelser der sker inden for tidsrummet $T$, så gælder der: (1) det bedste estimat for det sande gennemsnit af hændelser inden for tidsrummet $T$ er gennemsnittet $\overline\nu = \sum \nu_i/N$ af målingerne, og (2) ''standardafvigelsen'' (også kaldt SD, for Standard Deviation) af de observerede tal er approksimativt lig med ''kvadratroden'' af dette samme bedste estimat; altså, usikkerheden i hver måling er $\sqrt{\overline\nu}$. I specialtilfældet hvor der kun måles én gang, hvor man får et antal tællinger $\nu$, er det bedste estimat $\nu$, mens usikkerheden er kvadratroden $\sqrt\nu$; dette resultat er bare kvadratrods-reglen fra Taylor kap. 3, med den ekstra information at "usikkerheden" faktisk er standardafvigelsen, der definerer grænserne hvorimellem man kan være cirka 68 % sikker på at det sande svar ligger.
 En fysiker bruger en Geiger-tæller til at måle antallet af kosmiske partikler der kommer til hans laboratorie i givne to-sekunders intervaller.  Han tæller dette tal 20 gange med følgende resultater:
@@ Line 160: / Line 162: @@
 === Spørgsmål a ===
-Find gennemsnittet og standardafvigelsen på disse tal vha. MATLAB.
+Find gennemsnittet og standardafvigelsen (SD) på disse tal vha. MATLAB.
 {{hidden begin|toggle=right|title=Løsning|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}
 Først defineres datasættet som en enkel liste med
@@ Line 171: / Line 173: @@
 :<code>std(nu)</code>
 Dermed har man gennemsnittet og datasættets faktiske standardafvigelse.
 {{hidden end}}

@@ Line 80: / Line 80: @@
 === Bonus ===
-I næste uge skal I lære hvordan man fitter en funktion til datapunkter i MATLAB - så i stedet for at plotte en given kurve vil I skulle plotte den bedst fittede kurve til data.
+I uge 3 skal I lære hvordan man fitter en funktion til datapunkter i MATLAB - så i stedet for at plotte en given kurve vil I skulle plotte den bedst fittede kurve til data.
 {{hidden begin|toggle=right|title=Læs mere|titlestyle=background:#ccccff|bg2=#eeeeee}}

@@ Line 88: / Line 88: @@
 For at kunne fitte en linie skal man selvfølgelig først definere sin fitte-kurve, der i dette tilfælde vil være $\nu = \nu_0 \exp{(-rt)}$, hvor $\nu_0$ og $r$ nu er fitte-parametre. En funktion kan defineres på mange måder i MATLAB, men når man fitter med simple funktionsudtryk i MATLAB er det nemmest simpelthen bare at fodre fitte-rutinen med den direkte.
-:<code>cfun = fit(t',nu','a*exp(b*x)')</code>
+:<code>cfun = fit(t',nu','a*exp(-b*x)')</code>
 Bemærk at <code>t'</code> betyder den transponerede af <code>t</code>. Funktionen <code>fit</code> kræver nemlig søjlevektorer som data, ikke rækkevektorer, som både <code>t</code> og <code>nu</code> er defineret som. Objektet <code>cfun</code> indeholder nu information om fittet, og man kan plotte kurven med de bedste værdier af <code>a</code> og <code>b</code> med