opgaver:Uge3

I denne opgave skal I arbejde med fitning som forklaret i Barlow kapitel 6. I skal her selv lave et datasæt, og lærer derfor også hvordan man genererer tilfældige tal i MATLAB. Opgave 2 og 3 er uafhængige, og kan laves i den rækkefølge I har lyst til.

Spørgsmål 1 - Lineær model
Antag at I har en lineær model som i Barlow afsnit 6.2,


 * $y = A + B x .$

Vælg passende værdier af  og   og lav en vektor   med målepunkter, f.eks. ,,  . Lav nu en vektor med den "sande"   ud fra modellen. Vælg en usikkerhed for målingerne, og læg en normalfordelt støj til hver måling - brug MATLAB funktionen. Plot målingerne (med usikkerhederne) og den "sande" model i samme plot.

Beregn lineær regression ud fra Barlow og find de estimerede værdier for  og , og beregn den fittede modelværdi,. Plot  oveni det forrige plot og se hvor godt fittet er. Beregn den reducerede $\chi^2$, givet ved


 * $\dfrac{\chi^2}{N-P} ,$

hvor $N$ er antal datapunkter og $P$ er antal fit-parametre.

Start med at udregne selve den teoretiske linie, ved at definere  ,   og din  -akse. Definér derefter en  du vil bruge som din usikkerhed. Så kan din $y$ udregnes som  plus en vektor der består af Gaussisk fordelte tal med spredning   og centrum nul.

Start med at definere de to konstanter, din -akse og den usikkerhed du gerne vil have på punkterne, her f.eks.



Nu kan du udregne modellens -værdi direkte ved



Du kan nu lave en model med støj på punkterne med spredning givet ved  du definerede tidligere, ved at bruge   funktionen



Nu kan du plotte din model sammen med dine "målepunkter" (bemærk at for at få errorbars på er man nødt til at lave en vektor med samme længde som $x$ og $y$, som indeholder $\sigma$ for hver $y$-værdi - men da $\sigma$ er den samme for alle punkterne kan man bare bruge  funktionen),





En sådan figur er vist her til højre.

Regressionsparametrene kan udregnes med



og fit-linien er så fundet til at være



Denne linie plottes oven på model-linien og punkterne med



og så får man figuren til højre. Den reducerede $\chi^2$ findes til sidst med koden



1b - Andenordenskorrektion
Lav ny en ny serie af datapunkter ud fra forskriften


 * $ y = A + B x + C x^2$

Vælg, for samme interval af x-værdier. Udregn nu det reducerede $\chi^2$ mellem det gamle fit og de nye data. Bliver det værre eller bedre?

Lav nu et plot af residuals, Residuals er afvigelsen mellem data- og fitværdier for hvert målepunkt. Disse kan bruges til at opdage systematisk afvigelser, hvilket kan indikere at fitmodellen er utilstrækkelig.

Først laves en ny serie y-modelværdier:

Dernæst laves nye værdier med støj:

Vi kan derefter plotte de nye værdier sammen med de gamle samt både den gamle og nye model samt fittet til de lineære data. Du kan evt. supplere med et lineært fit til de nye data.

Herefter udregnes det nye reducerede $\chi^2$-værdi.

Til sidst plottes residuals.

Spørgsmål 2 - Gentagelse
Gentag dette "numeriske forsøg" et antal gange (f.eks. 100) og gem for hver gang fittets parametre. Brug  til at finde fordelingen af ,  , og reduceret $\chi^2$. Sammenlign med den estimerede usikkerhed på  og , og undersøg evt. korrelationen mellem  og   (plot f.eks.   vs.  ).

Start med at bruge den kode du lavede til spørgsmål a, og lav så et loop uden om det hele. I slutningen af loopet skal du gemme,   og din reducerede $\chi^2$ i et array - så du kan plotte alle værdierne bagefter.

Man kan genbruge al sin kode fra spørgsmål a til at lave sit loop. Definitionen af,  ,  ,   og   får lov til at blive, og så skal man forberede sit loop med antal gange man vil køre det, og tre lister til at gemme de resultater man får,



Herefter starter man sit loop lige før udregningen af, således at hvert loop laver en ny række punkter med anderledes støj.



Udregningen af regressionsparametrene er helt som før. Til sidst skal man gemme sine resultater i sine arrays,



Disse arrays kan man nu se lidt på. F.eks. kan man lave histogrammer eller korrelationsplots med  eller.

Spørgsmål 3 - Automatisk fitning i MATLAB
Prøv at anvende MATLABs fittefunktion  og sammenlign med jeres egen lineære regression.

Den automatiske fitning i MATLAB kan bruges med koden



her er  den indbyggede lineære funktion, men man kan også selv skrive sin funktion ind (se på MATLAB hjælp siden for  ). Fittet kan nu plottes sammen med datapunkterne og model-linien med



Denne figur kan ses til højre.

Samlede løsninger

 * Et samlet dokument med MATLAB kode til at løse alle opgaverne ovenfor kan hentes her: [[Media:opgaver_uge3_fits_ny.m|opgaver_uge3_fits_ny.m]]